< 몬티홀 딜레마 >

< 몬티 홀 딜레마 란 ?>

1.몬티 홀 딜레마

1900년대 초, IQ 228을 기록하던 보스 사반트라는 사람이 있었다. 그녀는 그것을 자랑하며 돌아다녔고, 『이 세상에서 제일 유명한 수학 문제』라는 책도 써내며, 전문 수학자들의 미움을 받았다. 그야말로 수학을 수수께끼 수준으로 격하시켰기 때문이다. 그녀가 펴낸 책은 인기가 많았고, 그녀의 '퍼레이드'칼럼은 매주 일요일마다 수백만의 독자를 끌어모았다. 그러던 중 한 독자에게서 희귀한 문제가 날아왔다.

"당신은 현재 게임쇼에 나와 있고 당신에게 세 개의 문 중에서 하나의 문을 선택할 권리가 주어져 있다. 물론 한쪽 문 뒤에는 상품이 숨겨져 있고, 다른 곳에는 꽝이 있다. 그런데 가령 당신이 1번 문을 마음속으로 선택했다고 하자. 이 때 어디에 상품이 숨겨져 있는지 아는 사회자가 1번 문을 제외한 두 곳 중에서 상품이 아닌 곳의 문을 열어서 확인시켜 준다. 그러면 당신은 1번 문을 고수할텐가? 아니면 다른 남은 문으로 옮길텐가?"

이 문제를 '몬티 홀 딜레마'라고 부른다. 보스 사반트는 다른 문으로 옮기라고 말했다. 문 1을 그대로 고수하면 상품을 딸 확률이 1/3이지만 남은 다른 문으로 옮기면 확률이 2/3가 된다는 것이다.
이에 수많은 독자들과 수학자들이 반박을 해왔다. 2/3가 아니라 1/2이 된다는 것이다. 왜냐하면 상품이 아닌 곳을 확인했기 때문에 이제 남은 것은 두 개의 문 뿐이고, 그 중 하나가 상품이기 때문이다.

< 몬티 홀 딜레마 풀이 >

풀이 1.

마이너리그에서 엄청난 유망주로 관심을 모으기 시작한 '하동훈'군이 멋진 해결법을 제시했다. 그것은 다음과 같다.

"문이 세 개이고, 하나만 상품이라고 가정하자.

(i) 우리가 선택을 바꿨을 때 상품이 걸릴 확률 = 처음에 꽝을 고르고(2/3), 바꿔서 상품을 고를(1) 확률 = (2/3) × 1 = 2/3 = 꽝을 고를 확률

(ii) 우리가 선택을 바꾸지 않았을 때 상품이 걸릴 확률 = 처음에 상품을 고를 확률 = 1/3

위의 두 경우는 보통의 풀이들과 마찬가지로 두 경우를 나누었지만

전혀 복잡하게 생각하지 않음으로써 논의의 여지가 없는 아주 깔끔한 해답을 제시해 준다."

풀이 2.

분명히 게임 참가자는 그 문 뒤에는 염소가 있기 때문에 몬티 홀이 열었던 문을 선택하지는 않을 것이다.

따라서 이제 쟁점은 게임 참가자가 현재 선택한 문에서 남아 있는 문(게임 참가자가 선택하지 않았고 몬티 홀이 열지 않은것)으로 선택을 바꿀지의 여부다.

단순하게 생각하면 게임 참가자가 이미 선택한 문 뒤에 염소가 있을 확류과 남아 있는 문 뒤에 염소가 있을 확률이 같다고 말 할수 있다.

-결국, 한 개의 문뒤에는 염소가 있고 다른 한개의 문 뒤에는 자동차가 있다. 선택을 바꾸는 것에 대한 쟁점은 무엇인가?그렇지만 이렇게 단순하게 생각하는 것은 서로 다른 염소 두마리가 있다는 사실은 고려하지는 않았다. 이 문제에 대한 풀이에서는 일어날 수 있는 경우들을 아주 주의 깊게 분석하고 놀라운 답을 제시한다.

풀이>몬티홀 문제를 풀기 위해서 경우별로 분석하는 방법을 사용하라.

첫번째 문 │두번째 문 │ 세번째 문

G1 G2 C

G2 G1 C

G1 C G2

G2 C G1

C G1 G2

C G2 G1 =>표

염소를 각각 ,G1, G2 (첫번째 염소와 두 번째 염소)로, 자동차는 ,C로 나타낸다.

간단히 하기 위하여, 게임 참가자는 항상 세 번째 문을 선택할 것이라고 하자.

그러나 첫 번째 문 뒤에 염소가 있지 않을 수도 있기 때문에(두 번째 문 뒤에 염소가 있을 수도 있다)

몬티 홀이 항상 첫 번째 문 뒤에 염소가 있는 것을 공개할 것이라고 가정할 수는 없다.

따라서 고려해야 할 경우가 몇 가지 있다.

세개의 대 상에 대해서6=3! 가지의 경우가 가능하다. 표에 행이 여섯 개인 것은 이러한 이유 때문이다.

(1)첫 번재 경우, 몬티 홀은 첫 번째 문 또는 두번째 문뒤의 염소를 공개할 것이다. 이는 게임 참가자가 선택을 바꾸는 것은 이익이 되지 않는다. 따라서 N이라고 기록한다.

(2)두번째의 경우는 첫 번째의 경우와 비슷하고, 게임 참가자가 선택을 바꾸는 것은 이익이 되지 않는다. 역시 N 이라고 기록한다.

(3)세번째 경우, 몬티 홀은 첫 변째 문뒤의 염소를 공개할 것이고, 이는 게임 참가자가 선택을 바꾸는 것이 이익이므로 Y라고 기록한다.

(4)네 번째 경우는 세 번째 경우와 비슷하고, 게임 참가자가 선택을 바꾸는 것이 이익이 된다. Y라고 기록한다.

(5)다섯 번재의 경우, 몬티 홀은 두 번째 문 뒤의 염소를 공개할 것이다. 이는 게임 참가자가 선택을 바꾸는 것이 이익이므로 ,Y라고 기록한다.

(6)여섯 번째의 경우는 다섯 번째의 경우와 비스소하고, 게임 참가자가 선택을 바꾸는 것이 이익이므로 Y라고 기록한다.

각각의 경우를 분석한 기록표에 Y가 네개, N이 두 게임을 주시하라.

따라서 몬 티 홀이 염소를 공개한 후에 선택을 바꾸면 2대1로 게임 참가자에게 유리하다.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------

이번에 이렇게 몬티홀에 관한 내용을 쓴 것은 최근에 인터넷 만화를 읽다가 몬티홀 관련 만화가 있더군요 ^^

그것을 보고 참으로 신기하다고 느껴져 찾아보고 좋은 지식이다 생각이 들어 이렇게 올립니다 ^^

이런 재밌는 이야기들로 인해서 다시금 수학의 재미를 느끼게 해주는군요 ^^